如果你家墙上或者地面上铺了瓷砖，你可以仔(zǐ)细(xì)观(guān)察(chá)一下。别小瞧了这样一个不起眼的现象，它背后是数学领域中一个重要的概念，被称为“铺砌”。一直以来，很多数学家一直在研究，什么样的几何形状可以通过组合无缝隙地填满无限的平面。

铺砌可以分为周期性和非周期性铺砌。比如我们熟悉的三角形、正方形或者六边形，它们不断重复排列，就能周期性地铺砌二维空间。如果不限于二维平面，在三维空间中，立方体也可以实现周期性铺砌。

图1：三角形、正方形、六边形可以周期性地铺砌平面。

周期性铺砌的一大特点是，它的整体图案可以通过平移或者旋转重现出来。我们可以想象一张无限大的黑白格的国际象棋棋盘，如果把它向右再向下平移两格，移动过后的图案和(hé)原(yuán)先(xiān)完(wán)全一(yī)样。

图2：一个无限延伸的国际象棋棋盘，可以通过平移来获(huò)得(de)完(wán)全一(yī)样(yàng)的(de)图(tú)案(àn)。

相(xiāng)比(bǐ)之(zhī)下(xià)，非(fēi)周(zhōu)期性铺砌就要复杂得多。因为它需要非重复性的排列，无论你怎么平移或者旋

转都无法重现原本的图案。数学家最初(chū)发(fā)现(xiàn)的(de)非(fēi)周(zhōu)期(qī)性(xìng)铺(pù)砌(qì)由(yóu)超(chāo)过(guò)两(liǎng)万(wàn)种(zhǒng)形(xíng)状(zhuàng)组(zǔ)成(chéng)。而(ér)最(zuì)著(zhe)名的(de)一个例子叫作彭罗斯铺砌，罗杰·彭罗斯成功用两种不同的菱形实现了非周期性铺砌。

图3：由两种菱形组成的彭罗斯铺砌。

解决铺砌问题的典型思路是找到一些带拐角的形状进行拼接，就像二维平面中的三角形、正方形、六边形等等，这很符合直觉。如果让一些传统铺砌系统中形状的边弯曲，让拐角变“圆”时，这些被“软化”过的形状就没法不留缝隙地进行铺砌了。

然而，带拐角(jiǎo)的(de)形(xíng)状(zhuàng)在(zài)自(zì)然(rán)界(jiè)中(zhōng)并(bìng)不(bù)常见。最近，在一项发表在PNASNexus上的新研究中，数学家发现了一类新的形状，可以在没有任何拐角的情况下铺砌(qì)空(kōng)间(jiān)。这(zhè)些(xiē)新的几何形状带有圆角，他们将这些形状称为“软细胞”。

图4：新研究将一类新的可以无缝隙铺砌空间的形状命名为软细胞。第一行(xíng)显(xiǎn)示(shì)了(le)等(děng)效(xiào)于(yú)常(cháng)规(guī)三(sān)角(jiǎo)形(xíng)的(de)软(ruǎn)铺(pù)砌(qì)，第(dì)二(èr)行(xíng)显(xiǎn)示(shì)了(le)等(děng)效(xiào)于(yú)长(zhǎng)方(fāng)形(xíng)的(de)软(ruǎn)铺(pù)砌(qì)，第(dì)三行显示了等效于六边形的软铺砌。（图/Domokos et. al. / PNAS Nexus）

软细胞的特点是，这些形状在拐角数量最少的情况下能无缝隙铺砌空间。在二维空间里，所有软细胞都必须至少有两个“尖角”。而在三维空间中，软细胞变得更复杂但也更有趣了。它们竟然可以完全不带尖角，也能无缝隙地铺砌整个空间。

其实放眼自然界，这种形状的铺砌模式完全不是新鲜事儿。小到肌细胞和洋葱鳞茎的层，再到斑马条纹，甚至河流岛屿的形状，都有这样的铺砌模式。而一个最经典的软细胞铺砌的例子就是鹦鹉螺的壳室。从横截面来看，鹦鹉螺的壳室看起来像是有着两个尖角的二维软细胞，但实际上，在三维空间中，它的壳室没有任何拐角。

图5：鹦鹉螺腔室的几何形状。（图/Domokos et. al./ PNAS Nexus）

图6：软细胞拥有最小数量的尖角，并且能没有缝隙地铺砌空间。在自然界和建筑中都存在有着两个尖角的软细胞的例子。第1列显示的是几何软细胞示例，第2、3列显示的是自然(rán)界(jiè)的(de)软(ruǎn)细(xì)胞(bāo)示(shì)例(lì)，第(dì)4列(liè)显(xiǎn)示(shì)的(de)是(shì)建(jiàn)筑(zhù)师(shī)扎(zhā)哈(hā)·哈(hā)迪(dí)德(dé)的(de)建(jiàn)筑(zhù)设(shè)计(jì)。（图(tú)/Wikimedia Commons, Google Earth, Krisztina Regős.）

其(qí)实(shí)，当(dāng)一(yī)些(xiē)建(jiàn)筑(zhù)师(shī)想(xiǎng)要(yào)避(bì)免(miǎn)拐(guǎi)角(jiǎo)时(shí)，他(tā)们(men)也(yě)会(huì)凭(píng)直觉(jué)创(chuàng)造(zào)出(chū)这(zhè)些(xiē)形(xíng)状(zhuàng)，比(bǐ)如(rú)著(zhe)名建(jiàn)筑(zhù)师(shī)扎(zhā)哈(hā)·哈(hā)迪(dí)德(dé)被(bèi)称(chēng)为(wèi)“曲(qū)线(xiàn)女(nǚ)王(wáng)”，她(tā)的(de)设计就以大胆的曲线而闻名。这些建筑师在不知不觉中已经创造出了“软细胞”。

这项发现同样带来了几何学和生物学的一系列问题。目前，科学家还不清楚大自然究竟是如何利用这些“软”的形状来实现几何复杂性的。他们推测，自然通常会避免拐角，可能是因为拐角的扭折在形变能上的成本很高，也有可能会带来某些结构性的劣势。这可能是某种“自然的智慧”。

本文为·创作培育计划扶持作品

作(zuò)者名称：沈雯

审核：刘歆 中国科学院数学与系统科学研究院 研究员

出品：中国科(kē)协(xié)科(kē)普(pǔ)部(bù)

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